Не буду цитировать, но это замечательный пример полного непонимания. Теперь ясно почему вы не понимаете.
Понятия не те. Грубо говоря, я пишу одно - вы понимаете другое, потому что слово которое я написал, для меня имеет значение совершенно иное, чем для вас. Это называется нарушение первого закона логики.
Придётся разгребать это на бытовых примерах.
Ликбез.Вот допустим есть у нас яблоко, груша, ложка, вилка. Замечательно? Замечательно.
Теперь надо ввести следующие понятия.
Множество, это некоторый неупорядоченный список.
Эти слова вызывают непонимания сразу. Неупорядоченный список означает, что нам не важен порядок.
Лучше на примерах:
Множество: яблоко, груша. Будем обозначать так: { яблоко, груша }
Каждое, что содержится во множестве ( в неупорядоченном списке ) будем называть "элемент множества", или более кратко "элемент".
Другими словами, множество { яблоко, груша } состоит из двух элементов: яблока, и груши.
Важно! Я сказал, что список неупорядоченный, это означает, что тоже самое множество можно записать так:
{ груша, яблоко }
И другими словами, это можно записать так:
{ яблоко, груша } = { груша, яблоко }
{ 1, 5, вилка } = { 5, 1, вилка }
Почему равны? Потому что мы договорились о неупорядоченности! Порядок нам не важен.
Теперь ещё один важный термин. Принадлежность.
Груша принадлежит множеству, если груша есть в этом множестве. Примеры:
Груша принадлежит множествам: {груша}, { груша, яблоко }, { 1, груша }
Груша не принадлежит множествам: { яблоко }, { яблоко, вилка }, { 5, ложка }
Теперь применительно к нашим "баранам".
Где начало в { яблоко, груша }? Нет начала.
Множество натуральных чисел, это {1, 2, 3, 4, 5, ... }
5 принадлежит множеству натуральных чисел. Верно? Верно.
Аналогично множество натуральных чисел можно записать так: { 5, 4, 3, 2, 1, 6, 7, 8, 9, 10, ... }
Независимо от записи, множеству натуральных чисел принадлежит число 10000.
Начало / конец тут не причём.
Теперь о сравнении. Как посчитать сколько элементов множества?
Множества называются равномощными (по-бытовому "одинаковое количество элементов"), если каждому элементу одного множества, можно поставить в соответствие взаимно-однозначным образом другой элемент.
Мощность обозначается так же как модуль числа |A|, где A - какое-то множество.
Пример:
| { яблоко, груша } | = | { ложка, вилка } |
Равномощны потому, что можно построить следующее взаимно-однозначное соответствие:
яблоко - ложка
груша - вилка
При этом, соответствие тоже не является упорядоченным, то есть, его можно было записать и следующим образом:
груша - вилка
яблоко - ложка
Так как здесь тоже порядок не имеет значения. Как видно, каждому элементу из одного множества соответствует элемент другого.
Этот вариант задания определения равномощных множеств можно было бы сказать соответствующим некому "здравому смыслу", только вот этот "здравый смысл" никак нельзя обосновать. Просто хочу это подчеркнуть. Это уже не раз обсуждалось тут.
Кроме того, надо подчеркнуть, что не важно какое именно соответствие, оно может быть любым, лишь бы удовлетворяло условиям взаимно-однозначности. То есть, такое тоже подойдёт:
груша - ложка
яблоко - вилка
Так как тоже взаимно-однозначное.
Пример не равномощных множеств:
{ яблоко, вилка }, { груша }
Можно привести такое соответствие:
яблоко - груша
вилка - груша
Что тут плохого?
Дело в том, что яблоку однозначно соответствует элемент "груша".
И вилке однозначно соответствует элемент "груша".
Но вот груше, соответствует два элемента: вилка, и яблоко.
Взаимность нарушена, значит это не взаимно-однозначное соответствие.
Надо ещё подчеркнуть, что каждому элементу должно быть соответствие.
Так вот, в таком смысле, множество натуральных чисел: { 1, 2, 3, 4, ... }
Равномощно множеству четных чисел: { 2, 4, 6, 8, 10, ... }
И это совершенно не потому, что есть какое-то начало, и конец.
Соответствие можно описать как:
1 - 2
2 - 4
3 - 6
...
Так и в другом порядке. Так и просто формулой
n = 2n (как в видео)
То есть, выбрав произвольный элемент первого множества: 56, мы "сразу" по соответствию можем
однозначно восстановить элемент второго множества: 132.
И по принципу взаимности, можем по элементу второго множества: 32, "сразу" сказать, что в нашем соответствии он соотносится с элементом 16 из первого множества.
Ещё раз подчёркиваю, что начало и конец здесь не имеет никакого отношения.
Наконец, почему так клонит в начало. Дело в том, что мы привыкли писать списки начиная с 1.
Кроме того, 1 наименьшее натуральное число.
Поэтому список в естественном виде принимает некоторую упорядоченность.
Соответствие же которое мы выбрали, оно выбрано обычно так, как нам было удобно, так как из определения равномощности,
не имеет значения какое именно соответствие мы выбрали.
Пример с дробями можно было сначала пойти вниз, а потом по диагонали вправо.
Можно было не диагональю ходить а например кривой гильберта:
Можно было начать где-то из середины нашей условной таблички.
Единственное что важно: взаимная однозначность.
В диагональном методе Кантора, список уже готов, и не важно как он получен.
Если же вы ассоциируете "начало" с первым элементом в списке, то он может быть любым.
Теперь к точкам прямой.
Все выше рассуждения, это о числах
x, которые представляются как точки прямой, на расстоянии
x от точки
0, которая выбрана произвольным образом. При этом, все выше рассуждения не требуют этого представления точек на прямой. Они просто числа.
Есть просто распространённая практика представлять их как точки такой прямой.
Вот отсюда и взялась каша.
Допустим есть такой список из чисел, затем вы соотносите каждому числу точку на прямой.
Что дальше? Они могут быть в любом порядке: скакать как мухи по говну. И что?
Диагональный метод Кантора говорит, что нельзя пронумеровать натуральными числами все точки на прямой, так как это невозможно сделать даже с отрезком.
Зато Кантор показывает, что можно пронумеровать все рациональные числа, то есть, все точки с рациональными координатами.
Замечательно. Что дальше?
Какое это отношение имеет к длине прямой? Никакое!
Так как пронумеровать можно как точки с целыми, так и с чётными. И в терминах равномощности, что чётных, что целых будет одинаковое "количество". Даже если мы учитываем отрицательные.
Более того, точек у которых модуль равен квадрату целого числа, тоже будет столько же сколько натуральных чисел (в этой терминологии).
Это я о множестве чисел { 0, 1, -1, 4, -4, 9, -9, 16, -16, 25, -25, ... }
Об этом говорится в видео.
Соответствие можно указать формулой:
Если n = 1, то 0
Если n > 1 и четное, то n^2/4, иначе -(n-1)^2/4 (отрицательное).
Напоминает то, что говорил
Insider, но он имел ввиду совсем другое сравнение бесконечностей.
А именно, тот "другой" "здравый смысл", о том, что n[sup]2[/sup]
растёт быстрее чем n, при увеличении n.
Рекомендую в свете прочтения этого, пересмотреть видео ещё раз.