liman05 писал(а):Пусть система отсчета (x΄, y΄, z΄, t΄) движется относительно системы (x, y, z, t)
со скоростью v, направленной вдоль оси x. Свяжем эти системы преобразованиями Галилея
x΄ = x – vt ,
y΄ = y ,
z΄ = z ,
t΄ = t .
Заменим частные производные по x, y, z и t в rot Е = - ( dB/dx + dB/dy*dy/dt+dB/dz*dz/dt+dB/dt) (1), на частные производные по
x΄, y΄, z΄ и t΄, использовав преобразования Галилея и раскроем операцию ротора. В итоге получим:
rot Е΄=(dB΄/dx΄( dx/dt-v)+dB΄/dy΄*dy/dt+dB΄/dz΄*dz/dt+dB΄/dt΄) где от классической скорости среды вычитается относительная скорость системы V. Используя преобразования Галилея уравнение станет таким:
rot Е΄=(dB΄/dx΄dx΄/dt΄+dB΄/dy΄*dy΄/dt΄+dB΄/dz΄*dz΄/dt΄+dB΄/dt΄)
Е΄ = -dB΄/dt,
что означает галилей-инвариантность первого уравнения системы(1), т.к. классическая запись показывает:
Е = -dB/dt
Аналогично доказывается галилей-инвариантность оставшихся уравнений.
Прежде чем что-то доказывать надо выписать хотя бы что вы доказываете. Какие именно уравнения рассматриваете?
(1) Это что такое? Должно быть так rot E = -∂B/∂t. Вы видимо ошибочно хотели написать полную производную по t, да и то написали её с ошибкой, так как отсутствует ∂x/∂t. Далее, откуда взялся B'? Что это? Где набор выкладок от "раскроем операцию ротора" до "В итоге получим"?
Почему у вас Е΄ = -dB΄/dt и Е = -dB/dt ? Что такое E' ?
В общем, пока на доказательство не тянет. Какой-то набор символов.
Я напрягся и выписал на бумажке доказательство в координатах
Доказательство Лоренц инвариантности.
Положим c=1, рассмотрим уравнения Максвелла в пустоте:
∇ . E = 0
∇ . H = 0
∇ x E = - ∂H/∂t
∇ x H = ∂E/∂t
Преобразования Лоренца:
x'=g (x-vt)
y'=y
z'=z
t'=g(t-vx)
g = 1/sqrt(1-v^2)
Имеем: ∂x'/∂x = g, ∂x'/∂t=-gv, ∂t'/∂t=g, ∂t'/∂x=-gv. Остальные производные либо 0 либо 1.
∂E/∂x = ∂E/∂x' ∂x'/∂x + ∂E/∂t' ∂t'/∂x = g∂E/∂x' -gv ∂E/∂t'
∂E/∂t = ∂E/∂t' ∂t'/∂t + ∂E/∂x' ∂x'/∂t = g∂E/∂t' -gv ∂E/∂x' (1)
Остальные производные без изменений, для H выписывается аналогично (просто заменяем E на H).
Выписываем дивергенцию:
∇ . E = g∂Ex/∂x'+∂Ey/y'+∂Ez/dz' - gv ∂Ex/∂t' = 0 (2)
Ротор:
∇ x H = {∂Hz/∂x-∂Hy/∂z, -(∂Hz/∂x-∂Hx/∂z), ∂Hy/∂x-∂Hx/∂y}
Подставляем значения для производных:
{∂Hz/∂x'-∂Hy/∂z', -(g∂Hz/∂x'-∂Hx/∂z'-gv ∂Hz/∂t'), g∂Hy/∂x'-∂Hx/∂y'-gc ∂Hy/∂t'} (3)
Для уравнения ∇ x H = ∂E/∂t переносим производные по x' (из (1)) в правую часть (выражение (3)), и производные по t' из левой части в правую. Получаем:
Левая часть:
{∂Hz/∂x'-∂Hy/∂z'+gv ∂Ex/∂x', -(g∂Hz/∂x'-∂Hx/∂z'+gv ∂Ey/∂x'), g∂Hy/∂x'-∂Hx/∂y'+gv ∂Ez/∂x'} (4)
Правая часть:
{∂Ex/∂t', g ∂Ex/∂t' - gv ∂Hz/∂t', g∂Ez/∂t' + gv ∂Hx/∂t'} (5)
Делаем замену (6):
Hz'=g(Hz-vEy)
Hy'=g(Hy+vEx)
Hx'=Hx
Ez'=g(Ez+vHy)
Ey'=g(Ey-vHz)
Ex'=Ex
В (4) (5) подставляем во второе и третье уравнение (... это первое уравнение, его рассмотрим отдельно ниже):
{ ... , -(∂Hz'/∂x'-∂Hx'/∂z'), ∂Hy'/∂x'-∂Hx'/∂y'} = { ..., ∂Ey'/t', ∂Ez'/t' }
Получили тождество. На 2/3 задача решена. Теперь самое сложное -- показать, что замена не портит первое уравнение.
В первом уравнении выражаем gv ∂E/∂x' через производные по y' и z' с помощью уравнения на дивергенцию (2):
g ∂Ex/∂x' = gv ∂Ex/∂t'-∂Ey/∂y'-∂Ez/z'
После подстановки в ...:
∂Hz/∂y' - v∂Ey/∂y'-∂Hy/∂z'-v∂Ez/z'+gv^2 ∂Ex/∂t' = g ∂Ex/∂t'
Подставляем выражения (6):
1/g ∂Hz'/∂y'-1/g ∂Hy'/∂z' = g (1-v^2) ∂Ex'/∂t'
Умножаем обе части на g и вспоминаем, что g это 1/(sqrt(1-v^2)) Получаем:
∂Hz'/∂y'-∂Hy'/∂z' = ∂Ex'/∂t'
Ура! Получили первое уравнение, но записанное в штрихованных переменных. Итого получили:
∇ . E' = 0
∇ . H' = 0
∇ x E' = - ∂H'/∂t'
∇ x H' = ∂E'/∂t'